一致性条件

Consistency Condition) 一致性条件是右端项 $b$ 必须满足的约束，使线性方程组

A x = b

至少有一个解。换句话说，它判断 $b$ 是否属于 $A$ 的列空间：

A x = b 可解 ⟺ b \in C (A) .

若条件不成立，解集为空；若条件成立，才谈得上特解和通解。

一致性条件最直接地来自增广矩阵：

[A b] ⟶ [R d] .

行变换必须同时作用在 $A$ 和 $b$ 上。化简后， $A x = b$ 与 $R x = d$ 等价。若 $R$ 的某一行是零行，则该行左边表示 $0$ ；为了不产生矛盾，对应的右端项必须也是 $0$ 。

因此

若 R 的第 i 行为零行，则必须有 d_{i} = 0.

如果出现

0 = d_{i}, d_{i} \neq 0,

方程组不相容。

零行条件也可以写成行依赖关系。若存在非零向量 $y$ 使

y^{T} A = 0,

则 $A$ 的若干行按 $y$ 的系数组合后消成零行。若 $A x = b$ 有解，对等式左乘 $y^{T}$ 得

y^{T} A x = y^{T} b .

左边为 $0$ ，所以必须满足

y^{T} b = 0.

因此， $A$ 的每一个行依赖关系都要求 $b$ 满足同样的线性关系。这也是左零空间和列空间之间的关系：左零空间中的向量必须与所有可达的右端项正交。

设

A = [\begin{matrix} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 6 \end{matrix}], b = [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}] .

第三行等于第一行加第二行。消元到增广矩阵时，最后一行变为

[\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & b_{3} - b_{1} - b_{2} \end{array}] .

因此方程可解当且仅当

b_{3} - b_{1} - b_{2} = 0, 即 b_{1} + b_{2} = b_{3} .

若取 $b = (1, 6, 7)^{T}$ ，条件成立，最后一行是 $0 = 0$ 。若取 $b = (1, 6, 8)^{T}$ ，最后一行是 $0 = 1$ ，方程无解。

再看

A = [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ - 2 & - 3 \end{matrix}] .

三行相加为零行，所以右端项也必须满足

b_{1} + b_{2} + b_{3} = 0.

这一个条件把允许的 $b$ 限制在 $R^{3}$ 中的一个平面内，也就是 $A$ 的列空间。

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $r = rank (A)$ 。行最简形 $R$ 有

m - r

个零行。因此最多会出现 $m - r$ 个独立的一致性条件。矩阵语言下，方程可解等价于

rank (A) = rank ([A b]) .

若增广列把秩提高了，说明 $b$ 不在列空间内；若秩没有提高，说明 $b$ 能由 $A$ 的列组合得到。

所以满行秩意味着一致性条件自动满足；满列秩只意味着相容后解唯一，并不自动保证相容。

一致性条件只回答“有没有解”。一旦它成立，完整解还要继续分解为

x = x_{p} + x_{n}, x_{n} \in N (A) .

其中 $x_{p}$ 由 $R x = d$ 中取自由变量为 $0$ 得到， $x_{n}$ 来自齐次方程 $A x = 0$ 的零空间。若一致性条件不成立， $x_{p}$ 不存在， $x_{p} + N (A)$ 这种通解结构也不存在。